Last posts on algèbre

Des outils pour favoriser l'apprentissage du calcul numérique et littéral

2013-10-23T15:00:00+02:00

Deux outils pour aider à l'apprentissage des règles de calcul littéral et de manipulation algébrique ont attiré mon attention.

Mathematical Expression Structure Tool

Mathematical Expression Structure Tool permet de visualiser toute expression numérique, littérale ou mixte à l'aide d'un arbre. Il est possible de générer les expressions avec l'affectation d'une probabilité pour chaque signe opératoire. Il est possible d'y inclure les parenthèses et les nombres négatifs. L'utilisateur peut aussi choisir sa propre expression.

Une fois l'arbre affiché, plusieurs choix sont possibles:

Explorer l'arbre

Evaluer les expressions numériques intermédiaires en pouvant aller jusqu'au résultat final.

Repérer dans l'expression ou dans l'arbre, un nombre, une variable littérale ou un signe opératoire.

EpsilonWriter

Le second outil est EpsilonWriter. Son potentiel pédagogique pour l'aide au calcul a été traité dans le Repères Irem 92. Le principe est d'associer une manipulation algébrique ou numérique au geste, celui du déplacement de la souris.

Je reviendrai très prochainement sur ce logiciel qui apporte de nouvelles dimensions à l'écriture des mathématiques. Un chat est en effet disponible ainsi que la possibilité de partage de document. Il est aussi possible d'utiliser EpsilonWriter pour éditer des mails à contenu mathématique et le code peut être exporté sur des blogs. J'ai écrit un article il y a quelque temps, publié sur Mathematice posant l'environnement numérique comme un bain dans lequel seraient plongées les trois sphères, de la pédagogie, de la didactique et de la communication. EpsilonWriter me semble bien être un des tous premiers éléments de l'intersection de ces trois sphères.

Le vidéo qui suit n'a pas pour but de montrer toutes les potentialités du logiciel mais seulement de découvrir quelques manipulations de base. Pour l'ensemble des fonctionnalités, il suffit de se diriger vers les présentations disponibles sur le site.

Les applets de l'Institut Freudenthal

Notons aussi l'existence des excellents applets de l'Institut Freudenthal. J'avais présenté sur ce blog l'applet Algebra Arrows.

La formule secrète ou le duel mathématique qui enflamma l'Italie

2013-08-24T17:18:00+02:00

par Fabio Toscano, traduit de l’italien par Sophie Lem.
Belin-Pour la science, août 2011.
182 p. en 14,5 x 22,5.

Le détail des chapitres.

La quatrième de couv.

Je vous conseille la lecture de cet excellent livre mettant en lumière l'incroyable combat liant les trois principaux algébristes italiens Tartaglia, Cardan et Ferrari.

Ce livre est aussi tout a fait accessible à des lycéens à partir de la première. Il ne contient que très peu de formalisme mathématique et peut être lu dès lors que la notion de résolution d'équations polynomiales est comprise.

Un court extrait (p 147):

Dans une incroyable escalade de violence verbale, le jeune Bolonais (c'est Ferrari) accable Tartaglia d'épithètes injurieuses, le traitant d' "homme bestial", de "diable", de "tête de vipère".

On découvre dans ce livre l'ancestrale tradition des duels mathématiques dont l'objectif est de garder le plus longtemps l'avantage l'adversaire sans trop se découvrir. Les manipulations sont légion et tous les coups ou presque sont permis pour sauvegarder son prestige, synonyme de notoriété et donc de rémunération. Il est aussi question de paternité des découvertes, de légitimité des publications et bien sûr de talent mathématique.

L'auteur cite dans le livre ( p 22) l'un des plus célèbres duels qui porta sur des sujets philosophiques, physiques et mathématiques. Il opposa en 980, le jour de Noël, l'érudit français Gerbert d'Aurillac, qui deviendra le premier pape français en 999, à l'allemand Otrich Von Magdebourg.

C'est à Ravenne en Italie que se rencontrèrent les deux hommes. Otton II, à la nuit tombée, déclara la victoire du français.

Mosaïque à Ravenne

Algèbre

2010-04-15T22:52:32+02:00

Algèbre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.

L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre universelle.

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.

Pour la « structure d'algèbre », voir l'article : Algèbre sur un corps.

Sommaire

[masquer]

Histoire [modifier]

Article connexe : Chronologie de l'algèbre.

Antiquité [modifier]

Les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré.

Par exemple, le Papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres, il date de -1650, ère chrétienne) comporte l'énoncé suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?

Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue (mathématiques).

Diophante, au III^e siècle de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre,^[1] et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre.

Monde arabo-musulman [modifier]

Page d'Algebra d'al-Khwarizmi

Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr (الجبر), qui est devenu algebra en latin et qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion » (en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique mais aussi le rebouteux, celui qui sait réduire les fractures osseuses^[2]).

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien d'origine persane Al-Khawarizmi qui reprend, dans la première partie du IX^e siècle, les travaux de Diophante d'Alexandrie (III^e siècle). Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques (la culture de l'époque voulait que tout savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne « algèbre ». Une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

Après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes et le système décimal en Europe et travaille sur sa fameuse suite.

XVI^e siècle : Europe [modifier]

François Viète

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro, invention indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.

Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des algorithmes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVI^e siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3^e degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4^e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVII^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres .

Au XVII^e siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :

Théorème — Toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité).

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :

Théorème — Le corps des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est algébriquement clos.

Le XIX^e siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa célèbre formule $e i π = - 1$ .

Algèbre moderne [modifier]

Ernst Kummer

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans ou annule son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX^e siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle.

Au début du XX^e siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que ou et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Notations européennes modernes [modifier]

Les symboles + et - apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de John Widmann (Leipzig)
Le signe = apparaît en 1557 chez Robert Recorde "parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux lignes parallèles".
Les signes < et > apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621).
William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication × dans son Clavis Mathematica (1631). Il introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente.
Le signe de la division / est utilisé par Johann Heinrich Rahn en 1659 et introduit en Angleterre par John Pell en 1668.

Voir aussi [modifier]

Sur les autres projets Wikimedia :

Algèbre sur Wikimedia Commons (ressources multimédia)
Algèbre sur Wiktionnaire (dictionnaire universel)
Algèbre sur Wikiversity (communauté pédagogique libre)
Algèbre sur Wikibooks (livres pédagogiques)

Notes et références [modifier]

↑ Diophante et l'algèbre pré-symbolique [archive], Luis RADFORD .
↑ Diccionario de la lengua española [archive] de la Real Academia Española

Bibliographie [modifier]

Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes [modifier]

Sur Al-Khwarizmi, mathématicien (en anglais)
Les mathématiques.net : références et cours en ligne

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre

Developer et réduire 8+(a-4) et 2(t-3)-5(t+2)

2009-09-29T21:56:00+02:00

A=8+(a-4)
suppression () sans changer signes à l'intérieur car précédeé de +
A = 8+a -4
Commutativité de l'addition
A=a+8-4
Associativité de l'addition
A=a+(8-4) sans changer signe à l'intérieur car précédé de +
A = a-4

====================

A=2(t-3)-5(t+2)
distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
a(b+c) = ab +bc
-a(b+c) = -ab -ac etc..
A= 2t-2*3 - 5t -5*2
Commutativité a+b = b+a ou a-b = -b+a etc...
A=2t-5t-6-10
Ajout des puissance de t entre elles (c'est une variante de la règle de distributivité) :
A =(2-5)t -16 = -3t-16

L'applet ”Algebra Arrows”

2009-03-27T18:41:00+01:00

Je viens de découvrir un article concernant l'utilisation des Tices en mathématiques. Il est fait mention d'un applet nommé " Algebra Arrows " qui a été développé par l'Université d'Ultrecht.

Si vous enseignez les mathématiques en collège ou en lycée, je vous conseille d'aller voir ce petit chef d'oeuvre ICI.

Il permet de visualiser facilement des chaînes de calculs, de construire des images de nombres, de faire apparaître le parenthésage associé, de construire l'expression en fonction d'une variable littérale et d'afficher les points et la courbe dans une petite fenêtre graphique.

Pour débuter avec l'applet, il suffit de déplacer les icônes situées à gauche et de les relier avec une flêche.

Voilà un résultat obtenu en moins de deux minutes :

L'algèbre arabe - vidéo - Ahmed Djebbar

2007-11-26T11:25:00+01:00

Sommaire des vidéos

La transmission des traditions mathématiques anciennes aux savants de langue arabe : les héritages grec, indien, mésopotamien (17 min)
Al-Khwārizmī et ses intentions quant à son traité d’algèbre (12 min)
Le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī : simple compilation des savoirs algébriques arabes ou traité novateurs ? (12 min)
Le développement de l’algèbre entre les 9° et 13° siècles : contemporains et successeurs d’al-Khwārizmī (7 min)
Les systèmes d’équations : Abū Kāmil et al-Karajī (9 min)
Les polynômes (11 min)
Les équations du troisième degré (10 min)
L’Occident musulman (14 min)

Index des noms propres cités dans la vidéo

Mathématiciens grecs cités :

Euclide (3e s. av. J.C.)
Archimède (mort en 212 av. J.C.)
Apollonius (3e s. av. J.C.)
Héron d’Alexandrie (2e s.)
Diophante (3e s.)

Mathématicien indien cité :

Brahmagupta

Califes cités :

Harūn ar-Rashīd (calife de 785 à 809)
al-Mansūr (calife de 754 à 775)
al-Ma’mūn (calife de 813 à 833)

Mathématiciens de la tradition arabe cités

Orient musulman Occident musulman

9e siècle al-Khwārizmī (780-850)
Abdel Hamid ibn Turk (9e s.)
al-Māhānī (9e siècle - mort vers 880)

10e siècle
Abū Barza (mort en 910)
Qustā ibn Lūqā (mort en 910)
Abū Kāmil (mort en 930)
al-Kūhī (10e s. – ca. 970)
Abū l-Jūd (10e-11e s.)
Ibn al-Haytham (965-1041)

Ibn cAbdūn (923-ap.976)
Abū Bakr (ca. 10 e s.)

11e siècle
al-Karajī (mort en 1029)
Sinān ibn al-Fathz (10e s.)
cUmar al-Khayyām (1048-1131)

12e siècle as-Samaw’al (mort en 1175)

13e siècle Ibn Badr (13e s.)

15e siècle al-Qatrawānī quitte son pays natal – l’Egypte – pour aller enseigner à Tunis.

	Orient musulman	Occident musulman
9e siècle	al-Khwārizmī (780-850) Abdel Hamid ibn Turk (9e s.) al-Māhānī (9e siècle - mort vers 880)
10e siècle	Abū Barza (mort en 910) Qustā ibn Lūqā (mort en 910) Abū Kāmil (mort en 930) al-Kūhī (10e s. – ca. 970) Abū l-Jūd (10e-11e s.) Ibn al-Haytham (965-1041)	Ibn cAbdūn (923-ap.976) Abū Bakr (ca. 10 e s.)
11e siècle	al-Karajī (mort en 1029) Sinān ibn al-Fathz (10e s.) cUmar al-Khayyām (1048-1131)
12e siècle	as-Samaw’al (mort en 1175)
13e siècle		Ibn Badr (13e s.)
15e siècle	al-Qatrawānī quitte son pays natal – l’Egypte – pour aller enseigner à Tunis.

Les vidéos sur le site de CultureMath: ICI

Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani

2007-07-15T10:25:00+02:00

J'espère que n'avez pas oublié.... aujourd'hui c'est l'anniversaire de la mort de Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani décédé le 15 juillet 998 à Bagdad...

Et vous le connaissez tous bien sûr, non? Quelle chance, voilà un petit rappel tiré d'une belle page sur l'algèbre des années 830 à 1637 d'Olivier Thill : ICI

Mohammad abu'l-Wafa al-Buzjani (940-998) est un astronome perse qui vient travailler à Bagdad au service du calife Adud ad-Dawlah qui règne de 949 à 983. Il est l'un des rares musulmans à s'intéresser aux nombres négatifs, probablement parce qu'il utilise l'algèbre pour des problèmes de comptabilité (dont les dettes) et pas seulement pour des problèmes de géométrie !

Voilà les élements principaux de son travail ( je n'ai pas traduit, ça fait un peu réviser l'anglais ) :

Part I: On ratio (fractions are represented as made from the "capital" fractions 1/2, 1/3, 1/4, ... ,1/10).
Part II: On multiplication and division (arithmetical operations with integers and fractions).
Part III: Mensuration (area of figures, volume of solids and finding distances).
Part IV: On taxes (different kinds of taxes and problems of tax calculations).
Part V: On exchange and shares (types of crops, and problems relating to their value and exchange).
Part VI: Miscellaneous topics (units of money, payment of soldiers, the granting and withholding of permits for ships on the river, merchants on the roads).
Part VII: Further business topics.

Abu'l-Wafa se distingue aussi pour avoir été le premier à utiliser la "fonction" tangente et pour avoir réalisé des tables de sinus et de tangentes avec des intervalles de 15 '.

Et n'oublions qu'en ces temps reculés, la bibliothèque de Bagdad comprenait un million d'ouvrages alors que celle de Rome n'en comptait que quelques milliers!

Intéressant non ?

Désolé, il n'y a pas de photo, l'appareil était en panne ce jour là !

Last posts on algèbre

Des outils pour favoriser l'apprentissage du calcul numérique et littéral

La formule secrète ou le duel mathématique qui enflamma l'Italie

Algèbre

Algèbre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire

Histoire [modifier]

Antiquité [modifier]

Monde arabo-musulman [modifier]

XVIe siècle : Europe [modifier]

Algèbre moderne [modifier]

Notations européennes modernes [modifier]

Articles connexes [modifier]

Voir aussi [modifier]

Notes et références [modifier]

Bibliographie [modifier]

Liens externes [modifier]

Developer et réduire 8+(a-4) et 2(t-3)-5(t+2)

L'applet ”Algebra Arrows”

L'algèbre arabe - vidéo - Ahmed Djebbar

Index des noms propres cités dans la vidéo

Mathématiciens grecs cités :

Mathématicien indien cité :

Califes cités :

Mathématiciens de la tradition arabe cités

Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani

XVI^e siècle : Europe [modifier]